Sistemas Dinámicos No Lineales: Ecuaciones de Lotka-Volterra, Tres Cuerpos, Funciones Iteradas y Péndulo Doble

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Investiga los siguientes temas y elabora una infografía: • Ecuaciones de Lotka-Volterra (con sus ecuaciones diferenciales) • Problema de los tres cuerpos • Funciones iteradas (¿qué significa iterar una función?) • Péndulo doble Incluye conceptos clave, ejemplos, aplicaciones y para concluír, incliye la relación existente entre los temas. Considera las siguientes preguntas guía: 1. ¿Qué tipo de sistema describe cada modelo? 2. ¿Qué variables intervienen y que representan? 3. ¿Qué comportamiento presentan? 4. ¿Dónde se aplican en la vida real? 5.¿Qué tienen en común estos sistemas? Requisitos de la infografía: • Uso de colores o jerarqupias visuales. • Conexiones claras entre los conceptos. • Uso de palabras clave. • Ejemplos y aplicaciones. • Imágenes relacionadas con cada tema. • La infografía se deberá presentar en archivo PDF, PNG o JPEG.

Presentación sobre conceptos clave en dinámica no lineal y teoría del caos. Explora las ecuaciones de Lotka-Volterra (modelo depredador-presa), el problema de los tres cuerpos (caos gravitacional), funciones iteradas (mapa logístico y bifurcaciones) y el péndulo doble (oscilador caótico). Incluye ecuaciones, comportamientos, ejemplos reales, aplicaciones en ecología, astronomía, demografía y robótica, más comparación y relaciones comunes.

May 14, 202616 slides

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Slide 1 - Ecuaciones de Lotka-Volterra Problema de los Tres Cuerpos Funciones Iteradas Péndulo Doble

Ecuaciones de Lotka-Volterra Problema de los Tres Cuerpos Funciones Iteradas Péndulo Doble

Conceptos clave, ejemplos, aplicaciones y relaciones

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Photo by Pawel Czerwinski on Unsplash

Slide 1 - Ecuaciones de Lotka-Volterra
Problema de los Tres Cuerpos
Funciones Iteradas
Péndulo Doble

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Slide 2 - Contenidos

Ecuaciones de Lotka-Volterra
Problema de los Tres Cuerpos
Funciones Iteradas
Péndulo Doble
Relación entre los Temas

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Photo by Logan Voss on Unsplash

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Slide 3 - Ecuaciones de Lotka-Volterra

Ecuaciones de Lotka-Volterra

Modelo matemático de poblaciones depredador-presa

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Photo by Matt Palmer on Unsplash

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Slide 4 - Ecuaciones Diferenciales

Tipo: No lineal continuo (poblaciones)
Variables: x=presas, y=depredadores (α,β,δ,γ parámetros)
dx/dt = αx - βxy
dy/dt = δxy - γy
Comportamiento: Ciclos límite periódicos
Ejemplos: Lobos y conejos
Apps: Modelos ecológicos

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Photo by Umit on Unsplash

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Slide 5 - Características Clave

Comportamiento: Oscilaciones amortiguadas o crecientes según parámetros
Aplicaciones: Ecología (poblaciones animales), epidemiología
Ejemplo: Conejos y zorros en Canadá (datos históricos oscilatorios)
No caótico puro, pero base para modelos caóticos

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Slide 6 - Problema de los Tres Cuerpos

Problema de los Tres Cuerpos

Sistema gravitacional sin solución general analítica

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Photo by Javier Miranda on Unsplash

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Slide 7 - Dinámica y Trayectorias

Tipo: Dinámica orbital no integrable
Variables: Posiciones/velocidades de 3 masas puntuales
Ecuaciones: m ÿ = G Σ mj (rj - r_i)/|r|^3
Comportamiento: Caos, eyecciones, colisiones
Ejemplo: Sol-Tierra-Luna aproximado
Apps: Astronomía, navegación espacial

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Photo by Nguyen Vanh on Unsplash

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Slide 8 - Características Clave

Comportamiento: Hipersensibilidad a condiciones iniciales (efecto mariposa)
Aplicaciones: Predicción órbitas satélites, exoplanetas
Ejemplo: Figura-8 solución periódica estable (rara)
Descubierto por Poincaré, base de teoría caos

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Slide 9 - Funciones Iteradas

Funciones Iteradas

x{n+1} = f(xn) - ¿Qué significa iterar?

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Photo by Bernd 📷 Dittrich (https://unsplash.com/@hdbernd?utmsource=karaf&utmmedium=referral) on Unsplash (https://unsplash.com/?utmsource=karaf&utmmedium=referral)

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Slide 10 - Mapa Logístico y Bifurcaciones

Tipo: Mapas discretos no lineales
Iterar: x0 → x1=f(x0) → x2=f(x1)...
Ejemplo: f(x)=r x(1-x)
Comportamiento: Puntos fijos → caos via duplicación periodo
Apps: Modelos poblacionales, meteorología

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Photo by Shawn Day on Unsplash

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Slide 11 - Características Clave

Comportamiento: Ruta Feigenbaum a caos (constante universal)
Aplicaciones: Criptografía, optimización
Ejemplo: Población insectos con r variable
Puente entre continuo y discreto

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Slide 12 - Péndulo Doble

Péndulo Doble

Sistema mecánico altamente sensible

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Photo by Nadir sYzYgY on Unsplash

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Slide 13 - Movimiento Caótico

Tipo: Oscilador no lineal acoplado
Variables: θ1,θ2 (ángulos), velocidades angulares
Ecuaciones: Derivadas Lagrange ÿ1,ÿ2 no lineales
Comportamiento: Cuasiperiódico → caos
Ejemplo: Experimentos físicos
Apps: Brazos robóticos, ingeniería

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Photo by Nadir sYzYgY on Unsplash

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Slide 14 - Características Clave

Comportamiento: Atractor extraño, Lyapunov >0
Aplicaciones: Control no lineal, simulaciones físicas
Ejemplo: Demostraciones caos en aulas
Fácil de construir, visualiza caos

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Slide 15 - Comparación de Sistemas

Modelo	Tipo Sistema	Variables	Comportamiento	Aplicaciones
Lotka-Volterra	Biológico	Poblaciones x,y	Oscilaciones periódicas	Ecología
Tres Cuerpos	Gravitacional	Posiciones 3 masas	Caótico general	Astronomía
Func. Iteradas	Discreto	x_n iterada	Bifurc./Caos	Demografía
Péndulo Doble	Mecánico	Ángulos θ1,θ2	Caos sensible	Robótica

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Slide 16 - Relaciones Comunes

Comunes en todos:

Sistemas DINÁMICOS NO LINEALES
Complejidad de reglas simples
Sensibilidad a condiciones iniciales
Caos y oscilaciones impredecibles
Aplicaciones: Ecología a Robótica

Fundamentos de la Teoría del Caos y Dinámica No Lineal

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