Ce diaporama présente le Chapitre VIII intitulé « Suites de variables aléatoires », axé sur la convergence de suites de variables aléatoires. Il s'agit d'une diapositive de titre soulignant les concepts clés pour les préparations au CAPES et à l'Agrégation.

Convergence de suites de v.a.

Concepts clés pour CAPES/Agrégation

Source: Probabilités et statistiques – Préparation CAPES/Agrégation

Ce plan de présentation aborde quatre thèmes principaux en probabilité : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec ses preuves et applications, la convergence en probabilité et la LLGN faible, la convergence en loi avec le TCL et illustrations, ainsi que la convergence presque sûre et la LLGN forte. Chaque point inclut définitions, critères, théorèmes et distinctions entre les types de convergence.

Plan de la présentation

1. 1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Définition, preuve et applications aux bornes de probabilité

2. 2. Convergence en probabilité et LLGN faible

Définitions, critères et lien avec la loi faible des grands nombres

3. 3. Convergence en loi et TCL

Fonctions de répartition, théorème central limite et illustrations

4. 4. Convergence presque sûre et LLGN forte

Définition, théorèmes et distinction avec les autres convergences Source: Chapitre VIII : Suites de variables aléatoires

Cette diapositive de section présente l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, marquée comme section 1. Elle inclut un sous-titre expliquant sa définition et sa formule clé pour borner la dispersion.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

1

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Définition et formule clé pour borner la dispersion

Source: Chapitre VIII : Suites de variables aléatoires

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour une variable aléatoire \(X \sim (\mu, \sigma^2)\), on a \(P(|X - \mu| \geq k) \leq \sigma^2 / k^2\). Cette borne probabiliste universelle, sans hypothèses supplémentaires, s'applique notamment au contrôle de la dispersion des estimateurs.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

• Pour X∼(μ,σ²) : P(|X-μ|≥k) ≤ σ²/k²
• Borne probabiliste universelle, sans hypothèses
• Application : contrôle de la dispersion d'estimateurs

Source: Chapitre VIII : Suites de v.a.

Cette diapositive de section intitulée « Convergence en probabilité et LLGN » (section 2-3) présente la définition de la convergence en probabilité ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Elle introduit également la loi faible des grands nombres (LLGN).

Convergence en probabilité et LLGN

2-3

Convergence en probabilité et LLGN

Définition, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi faible des grands nombres

Source: Chapitre VIII : Suites de variables aléatoires

La convergence en probabilité est définie par Xₙ →ᵖ X lorsque, pour tout ε > 0, la probabilité que |Xₙ - X| dépasse ε tend vers 0 quand n → ∞. Selon la loi faible des grands nombres, si les Xᵢ sont i.i.d. avec espérance μ, alors la moyenne empirique X̄ₙ converge en probabilité vers μ, rendant les moyennes empiriques fiables pour estimer μ.

Convergence en probabilité

Source: Chapitre VIII : Suites de variables aléatoires

Ce slide de section porte sur la convergence en loi et la TCL (Théorème Central Limite), numérotée 4-5. Il présente comme sous-titre une illustration et des applications du Théorème Central Limite.

Convergence en loi et TCL

4-5

Convergence en loi et TCL

Théorème central limite : illustration et applications

Source: Chapitre VIII : Suites de variables aléatoires

La diapositive présente la convergence en loi, où la fonction de répartition empirique Fₙ(t) converge vers F(t) pour tout t de continuité. Elle expose aussi le théorème central limite (TCL) indiquant que √n( X̄ₙ - μ )/σ converge en distribution vers une loi normale N(0,1), avec une application aux intervalles de confiance asymptotiques.

Convergence en loi et TCL

• Convergence en loi : Fₙ(t) → F(t) ∀t continu
• TCL : √n( X̄ₙ - μ )/σ →ᵈ N(0,1)
• Application : Intervalles de confiance asymptotiques

Source: Chapitre VIII : Suites de v.a.

Ce diapositive de conclusion présente un récapitulatif de la chaîne logique : Inégalités → Convergence en probabilité → LLGN → CL → Convergence en loi → LSGN. Elle mentionne les applications en inférence statistique, les perspectives pour la préparation au CAPES/Agrégation, et marque la fin de la présentation.

Conclusion et synthèse

**Récapitulatif Inégalités → Conv. prob. → LLGN → CL → Conv. loi → LSGN

Applications Inférence statistique

Perspectives Préparation CAPES/Agrégation

Fin de la présentation.**

Source: Chapitre VIII : Suites de variables aléatoires